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21．（15分）定义$R_{p}$数列$\{a_{n}\}$：对$p\in R$，满足：
①$a_{1}+p\geqslant 0$，$a_{2}+p=0$；②$\forall n\in N*$，$a_{4n-1}<a_{4n}$；③$\forall m$，$n\in N*$，$a_{m+n}\in \{a_{m}+a_{n}+p$，$a_{m}+a_{n}+p+1\}$．
（1）对前4项2，$-2$，0，1的数列，可以是$R_{2}$数列吗？说明理由；
（2）若$\{a_{n}\}$是$R_{0}$数列，求$a_{5}$的值；
（3）若$S_{n}$是数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和，是否存在$p\in R$，使得存在$R_{p}$数列$\{a_{n}\}$，对任意$n\in N*$，满足$S_{n}\geqslant S_{10}$？若存在，求出所有这样的$p$；若不存在，说明理由．
分析：（1）利用性质③，结合题意进行判断，即可得到答案；
（2）由性质③，确定$a_{3}$，$a_{4}$的取值情况，然后分别分析得到$a_{4}=1$，$a_{3}=a_{1}$，从而求出$a_{1}$的值，当$a_{1}=0$，则$\{a_{n}\}$的前四项为0，0，0，1，利用数学归纳法证明$a_{4n+i}=n(i=1$，2，$3)$，$a_{4n+4}=n+1(n\in N)$，即可求得答案；
（3）令$b_{n}=a_{n}+p$，由性质③进行分析，可得数列$\{b_{n}\}$为$R_{0}$数列，利用（2）中的结论，得到$p$的取值情况，即可得到答案．
解：（1）由性质③，结合题意可得$0=a_{3}\in \{a_{1}+a_{2}+2$，$a_{1}+a_{2}+2+1\}=\{2$，$3\}$，矛盾，
故前4项2，$-2$，0，1的数列，不可能是$R_{2}$数列；
（2）性质①，$a_{1}\geqslant 0$，$a_{2}=0$；
由性质③$a_{m+2}\in \{a_{m}$，$a_{m}+1\}$，因此$a_{3}=a_{1}$或$a_{3}=a_{1}+1$，$a_{4}=0$或$a_{4}=1$，
若$a_{4}=0$，由性质②可得$a_{3}<a_{4}$，即$a_{1}<0$或$a_{1}+1<0$，矛盾；
若$a_{4}=1$，$a_{3}=a_{1}+1$，由$a_{3}<a_{4}$，则$a_{1}+1<1$，矛盾，
因此只能是$a_{4}=1$，$a_{3}=a_{1}$，
又因为$a_{4}=a_{1}+a_{3}$或$a_{4}=a_{1}+a_{3}+1$，所以$a_{1}=\dfrac{1}{2}$或$a_{1}=0$．
若$a_{1}=\dfrac{1}{2}$，则$a_{2}\in \{a_{1}+a_{1}+0$，$a_{1}+a_{1}+0+1\}=\{2a_{1}$，$2a_{1}+1\}=\{1$，$2\}$，不满足$a_{2}=0$，舍去；
当$a_{1}=0$，则$\{a_{n}\}$的前四项为0，0，0，1，
下面用数学归纳法证明$a_{4n+i}=n(i=1$，2，$3)$，$a_{4n+4}=n+1(n\in N)$，
当$n=0$时，经检验命题成立；
假设$n\leqslant k(k\geqslant 0)$时命题成立．
当$n=k+1$时，
若$i=1$，则$a_{4(k+1)+1}=a_{4k+5}=a_{j+(4k+5-j)}$，
利用性质③：$\{a_{j}+a_{4k+5-j}\vert j\in N*$，$1\leqslant j\leqslant 4k+4\}=\{k$，$k+1\}$，此时可得$a_{4k+5}=k+1$，
否则$a_{4k+5}=k$，取$k=0$可得$a_{5}=0$，而由性质②可得$a_{5}=a_{1}+a_{4}\in \{1$，$2\}$，与$a_{5}=0$矛盾．
同理可得，$\{a_{j}+a_{4k+6-j}\vert j\in N*$，$1\leqslant j\leqslant 4k+5\}=\{k$，$k+1\}$，此时可得$a_{4k+6}=k+1$，
$\{a_{j}+a_{4k+8-j}\vert j\in N*$，$2\leqslant j\leqslant 4k+6\}=\{k+1$，$k+2\}$，此时可得$a_{4k+8}=k+2$，
$\{a_{j}+a_{4k+7-j}\vert j\in N*$，$1\leqslant j\leqslant 4k+6\}=\{k+1\}$，又因为$a_{4k+7}<a_{4k+8}$，此时可得$a_{4k+7}=k+1$，
即当$n=k+1$时，命题成立．
综上可得，$a_{5}=a_{4\times 1+1}=1$；
（3）令$b_{n}=a_{n}+p$，由性质③可知，$\forall m$，$n\in N*$，$b_{m+n}=a_{m+n}+p\in \{a_{m}+p+a_{n}+p$，$a_{m}+p+a_{n}+p+1\}=\{b_{m}+b_{n}$，$b_{m}+b_{n}+1\}$，
由于$b_{1}=a_{1}+p\geqslant 0$，$b_{2}=a_{2}+p=0$，$b_{4n-1}=a_{4n-1}+p<a_{4n}+p=b_{4n}$，
因此数列$\{b_{n}\}$为$R_{0}$数列，
由（2）可知，若$\forall n\in N*$，$a_{4n+4}=n-p(i=1$，2，$3)$，$a_{4n+1}=n+1-p$；
$S_{11}-S_{10}=a_{11}=a_{4\times 2+3}=2-p\geqslant 0$，
$S_{9}-S_{10}=-a_{10}=-a_{4\times 2+2}=-(2-p)\geqslant 0$，
因此$p=2$，此时$a_{1}$，$a_{2}$，$\cdot \cdot \cdot$，$a_{10}\leqslant 0$，$a_{j}\geqslant 0(j\geqslant 11)$，满足题意．
点评：本题考查了有关数列的新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于难题．
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