2020年高考数学新高考Ⅱ-12

已知

$a>0$ ，

$b>0$ ，且

$a+b=1$ ，则(　　)
A．

$a^{2}+b^{2}\geqslant \dfrac{1}{2}$
B．

$2^{a-b}>\dfrac{1}{2}$
C．

$\log _{2}a+\log _{2}b\geqslant -2$
D．

$\sqrt{a}+\sqrt{b}\leqslant \sqrt{2}$
分析：直接利用不等式的性质的应用和基本不等式的应用求出结果．
解答：解：①已知

$a>0$ ，

$b>0$ ，且

$a+b=1$ ，所以

$(a+b)^{2}\leqslant 2a^{2}+2b^{2}$ ，则

${a}^{2}+{b}^{2}\geqslant \dfrac{1}{2}$ ，故

$A$ 正确．
②利用分析法：要证

${2}^{a-b}>\dfrac{1}{2}$ ，只需证明

$a-b>-1$ 即可，即

$a>b-1$ ，由于

$a>0$ ，

$b>0$ ，且

$a+b=1$ ，所以：

$a>0$ ，

$-1<b-1<0$ ，故

$B$ 正确．
③

${\log }_{2}a+{\log }_{2}b={\log }_{2}ab\leqslant {\log }_{2}(\dfrac{a+b}{2})^{2}=-2$ ，故

$C$ 错误．
④由于

$a>0$ ，

$b>0$ ，且

$a+b=1$ ，
利用分析法：要证

$\sqrt{a}+\sqrt{b}\leqslant \sqrt{2}$ 成立，只需对关系式进行平方，整理得

$a+b+2\sqrt{ab}\leqslant 2$ ，即

$2\sqrt{ab}\leqslant 1$ ，故

$\sqrt{ab}\leqslant \dfrac{1}{2}=\dfrac{a+b}{2}$ ，当且仅当

$a=b=\dfrac{1}{2}$ 时，等号成立．故

$D$ 正确．
故选：

$ABD$ ．
点评：本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

相关知识

不等式

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