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2020年高考数学新高考Ⅱ-11<-->2020年高考数学新高考Ⅱ-13
已知$a>0$，$b>0$，且$a+b=1$，则( )
A．$a^{2}+b^{2}\geqslant \dfrac{1}{2}$
B．$2^{a-b}>\dfrac{1}{2}$
C．$\log _{2}a+\log _{2}b\geqslant -2$
D．$\sqrt{a}+\sqrt{b}\leqslant \sqrt{2}$
分析：直接利用不等式的性质的应用和基本不等式的应用求出结果．
解答：解：①已知$a>0$，$b>0$，且$a+b=1$，所以$(a+b)^{2}\leqslant 2a^{2}+2b^{2}$，则${a}^{2}+{b}^{2}\geqslant \dfrac{1}{2}$，故$A$正确．
②利用分析法：要证${2}^{a-b}>\dfrac{1}{2}$，只需证明$a-b>-1$即可，即$a>b-1$，由于$a>0$，$b>0$，且$a+b=1$，所以：$a>0$，$-1<b-1<0$，故$B$正确．
③${\log }_{2}a+{\log }_{2}b={\log }_{2}ab\leqslant {\log }_{2}(\dfrac{a+b}{2})^{2}=-2$，故$C$错误．
④由于$a>0$，$b>0$，且$a+b=1$，
利用分析法：要证$\sqrt{a}+\sqrt{b}\leqslant \sqrt{2}$成立，只需对关系式进行平方，整理得$a+b+2\sqrt{ab}\leqslant 2$，即$2\sqrt{ab}\leqslant 1$，故$\sqrt{ab}\leqslant \dfrac{1}{2}=\dfrac{a+b}{2}$，当且仅当$a=b=\dfrac{1}{2}$时，等号成立．故$D$正确．
故选：$ABD$．
点评：本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
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