2018年高考数学浙江21<-->返回列表
已知函数。
（Ⅰ）若在，（）处导数相等，证明：；
（Ⅱ）若，证明：对于任意，直线与曲线有唯一公共点。
（Ⅰ），
由得：，
所以，
化简得，
由基本不等式有，，当且仅当时取等号，
又，所以，
则，
得，
记，，
，在上单调递增，
即。
（Ⅱ）记（），
，
令，记，
则。
①当时，，有，单调递减，
当时，；当时，，当时，，
所以取时，有。
又，
所以有唯一零点。
②当时，，令，解得，，
则当时，单调递减。
当时，单调递增；
当时，单调递减。
记，
注意，
且，结合单调性，可知有唯一零点。
综上可知，若，对于任意，直线与曲线有唯一公共点。
本题主要考查导数在研究函数中的应用。
（Ⅰ）利用基本不等式得到的范围即可进行求解。
（Ⅱ）转化为零点问题来处理，同时需要用零点存在性定理进行严格证明。
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