解:(1)a=1时,f(x)=|x+1|−|x−1|,
所以f(x)={2,x>12x,−1⩽x⩽1−2,x<−1,
所以,当x>1时,f(x)=2>1恒成立,
当−1⩽x⩽1时,f(x)=2x>1,
所以x>12,所以12<x⩽1,
当x<−1时,f(x)=−2<1恒成立,
综上所述,f(x)>1的解集为{x|x>12}。
(2)当x∈(0,1)时,f(x)=x+1−|ax−1|>x,
可转化为|ax−1|<1,所以−1<ax−1<1,
所以0<ax<2,
又因为x∈(0,1),
所以{a>0a<2x,即0<a⩽2,
所以a的取值范围是0<a⩽2。