2018年高考数学北京--理15<-->2018年高考数学北京--理17
如图，在三棱柱中，平面，，，，分别为，，，的中点，，。
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）证明：直线与平面相交。
（Ⅰ）证明：因为为中点，，
所以。
因为平面，、分别为、的中点，
所以，
所以平面。
因为平面，
又因为，平面，平面，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，，。
又因为，
所以、、两两垂直。
以为原点，分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示，
在中，因为，，
所以，，
所以，，，，，
所以，。
设平面的法向量为，
则，即，
不妨令，所以，
显然，平面，
所以可取平面的法向量为。
设平面的法向量与平面的法向量的夹角为，
则，
由图可得，二面角为钝角，
所以二面角的余弦值为。
（Ⅲ）证明：因为，，
由（Ⅱ）可知，平面的一个法向量为，
而，
所以直线不与平面平行，
又直线不在平面内，
所以直线与平面相交。
本题主要考查空间向量的应用和点、直线、平面的位置关系。
（Ⅰ）由，为中点可得，由，平面得。因为，所以平面。
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论建立空间直角坐标系，分别得出，，进而求得平面的一个法向量，由平面，所以，观察图可知二面角为钝角，所以二面角余弦值为。
（Ⅲ）根据说明与法向量不垂直，得到直线不与平面平行，即直线与平面相交。
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