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2016年高考数学上海--文20

(2016上海卷计算题)

(本小题满分14分)

有一块正方形菜地所在直线是一条小河,收获的蔬菜可送到点或河边运走。于是,菜地分为两个区域,其中,中的蔬菜运到河边较近,中的蔬菜运到点较近,而菜地内的分界线上的点到河边与到点的距离相等,现建立平面直角坐标系,其中原点的中点,点的坐标为,如图;

(1)求菜地内的分界线的方程;

(2)菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍,由此得到面积的“经验值”为。设上纵坐标为的点,请计算以为一边、另一边过点的矩形的面积,及五边形的面积,并判断哪一个更接近与面积的经验值。

【出处】
2016年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷):文数第20题
【答案】

(1)因为原点)为的中点,点的坐标为,所以点坐标为,又因为菜地为正方形,所以点坐标为点坐标为。由题意可知曲线上的点到直线与到点的距离相等,即),化简得到,所以分界线的方程为)。

(2)如下图,过点作轴,因为上纵坐标为的点,将代入的方程为可得,即点的坐标为,设以为一边、另一边过点的矩形的面积为,则,设五边形的面积为,如图,,所以,所以,则五边形的面积更接近面积的经验值。

【解析】

本题主要考查圆锥曲线,函数的概念与性质。

(1)由题意可知曲线上的点到直线与到点的距离相等,根据抛物线的定义可知该曲线满足抛物线的方程,故可求得的方程;

(2)根据(1)中的方程可求得点的横坐标为,所以该矩形的边长为,即可求得该矩形的面积;五边形可以求矩形的面积减去三角形和梯形得到。

【考点】
函数
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