2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）：理数第20题<-->2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）：理数第22题
（本小题满分12分）
已知函数，。
证明：
（Ⅰ）存在唯一，使；
（Ⅱ）存在唯一，使，且对（Ⅰ）中的，有。
（Ⅰ）当时，。函数在为减函数，又，，所以存在唯一，使。
（Ⅱ）考虑函数，。令，则时，。记，则。由（Ⅰ）得，当时，；当时，。在上是增函数，又，从而当时，，所以在上无零点。在上为减函数，由，，知存在唯一的，使。所以存在唯一的，使。因此存在唯一的，使。因为当时，，故与有相同的零点，所以存在唯一的，使，因，，所以。
本题主要考查导数与函数单调性的关系。
（Ⅰ）函数在定义区间单调，且存在一点使函数值大于零，另一点使函数值小于零；
（Ⅱ）利用函数的单调性判断。
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