2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）：文数第19题<-->2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）：文数第21题
（本小题满分13分）
如图，为坐标原点，双曲线：（，）和椭圆：均过点，且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为的正方形。
（Ⅰ）求，的方程；
（Ⅱ）是否存在直线，使得与交于、两点，与只有一个公共点，且？证明你的结论。
（Ⅰ）设的焦距为，由题意知，，。从而，。因为点在双曲线上，所以。故。由椭圆的定义知。于是，。故，的方程分别为，。
（Ⅱ）不存在符合题设条件的直线。
（ⅰ）若存在直线垂直于轴，因为与只有一个公共点，所以直线的方程为或。
当时，易知，，所以，。此时，。
当时，同理可知，。
（ⅱ）若直线不垂直于轴，设的方程为。由，得。当与相交于，两点时，设，，则，是上述方程的两个实根，从而，。于是。由，得。因为直线与只有一个公共点，所以上述方程的判别式。化简，得。因此，于是，即。故。综合（ⅰ），（ⅱ）可知，不存在符合题设条件的直线。
本题主要考查圆锥曲线与直线方程。
（1）根据已知条件构造关于双曲线和椭圆的，的方程，求解即可得到结论；
（2）对直线斜率存在和不存在两种情况进行讨论，分别在两种情况下与曲线方程联立，得到需证明式子左右两边的值比较得到矛盾，于是不存在这样的直线。
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