2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）：理数第21题<-->返回列表
（本小题满分14分）
为圆周率，为自然对数的底数。
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）求，，，，，，这个数中的最大数与最小数；
（Ⅲ）将，，，，，，这个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论。
（Ⅰ）函数的定义域为，因为，所以。当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减。故函数的单调递增区间为，函调递减区间为。
（Ⅱ）因为，所以，，即，。于是根据函数，，在定义域上单调递增，可得，。
故这个数的最大数在与之中，最小数在与之中。
又及（Ⅰ）的结论，得，即。
由，得，所以；
由，得，所以。
综上，个数中的最大数为，最小数是。
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，。又由（Ⅱ）知，，得，故只需比较与和与的大小。
由（Ⅰ）知，当时，，即。
在上式中，令，又，则，从而，即得 ①。
由①得，，即，亦即，所以。
又由①得，，即，所以。
综上可得，，即个数从小到大的顺序为，，，，，。
本题主要考查导数在研究函数中的应用及函数的单调性。
（1）先求出函数的定义域，对函数进行求导，利用导函数的正负求出函数的单调区间；
（2）利用指数函数及幂函数的性质，可先判断出一部分数的大小，再利用第一问所求函数的单调性即可求出这些数的大小关系；
（3）利用第二问的求解方法即可求解。
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