2014年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）：理数第17题<-->2014年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）：理数第19题
（本小题满分13分）
已知函数，，
（1）求证：；
（2）若在上恒成立，求的最大值与的最小值。
解：（1）由得，因为在区间上，所以在区间上单调递减，从而。
（2）当时，“”等价于“”，“”等价于“”。令，则。当时，对任意恒成立；当时，因为对任意，，所以在区间上单调递减，从而对任意恒成立；当时，存在唯一的使得。与在区间上的情况如下：
因为在区间上是增函数，所以，进一步，“对任意恒成立”当且仅当，即。
综上所述，当且仅当时，对任意恒成立；当且仅当时，对任意恒成立。所以若对任意恒成立，则的最大值为，的最小值为。
本题主要考查导数在研究函数中的应用。
（1）利用导函数求出函数的单调区间，从而可求出函数在定义域上的最小值，即可得证；
（2）根据不等式构造函数，去求解构造函数的单调性，从而可求得最值，即可得到所要求的答案。
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