2013年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）：理数第20题<-->2013年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）：理数第22题
（本题满分12分）
已知函数。
（Ⅰ）设是的极值点，求并讨论的单调性；
（Ⅱ）当时，证明：。
（Ⅰ），由是的极值点得，所以。于是，定义域为，，函数在上单调递增，且。因此，当时，； 当时，。
所以，在上单调递减，在上单调递增。
（Ⅱ）当，时，，故只需要证明当时，。当时，函数在单调递增，
又，，故在有唯一实根，且。当时，；当时，；从而当时，取得最小值。由得：，，故。
综上：当时，。
本题主要考查函数的求导和函数的单调性的判断。
（Ⅰ）先对函数求导，得导函数，由题，则可得的值，当时，单调递增，求得的的取值范围即为单调增区间；当时，单调递减，求得的的取值范围即为单调减区间。
（Ⅱ）由分析知，只需证明当时，，此时通过分析函数单调性，求得即可得证。
全网搜索"2013年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）：理数第21题"相关
