2013年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅰ卷）：文数第20题<-->2013年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅰ卷）：文数第22题
（本题满分12分）
已知圆：，圆：，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线。
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）是与圆，圆都相切的一条直线，与曲线交于两点，当圆的半径最长时，求。
由已知得圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，设圆的圆心为，半径为。
（Ⅰ）因为圆与圆外切并且与圆内切，所以。
由椭圆的定义可知，曲线是以为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆（左顶点除外），其方程为。
（Ⅱ）对于曲线上任意一点，由于，所以。
当且仅当圆的圆心为时，，所以当圆的半径最长时，其方程为。
若的倾斜角为，则与轴重合，可得。
若的倾斜角不为，由知不平行于轴，设与的交点为，则，可求得，所以可设：，由与圆相切得，解得。
当时，将代入，并整理得解得，所以。
当时，由图形的对称性可知。
综上，或。
本题主要考查椭圆的定义、直线与椭圆关系。
（Ⅰ）由内切和外切的定义可知轨迹点到两点的距离之和为定值，可知轨迹为椭圆，可求曲线方程；
（Ⅱ）由题意可得圆圆心在轴上时半径最大，证明如答案所示。确定圆的位置后，欲求，先求直线方程。
分情况讨论：
①斜率不存在；
②斜率存在，通过与两圆相切的条件可通过与两个圆心的距离列方程求得直线方程。
将求得的直线方程与椭圆方程联立解得。
本题的易错点是容易遗漏斜率不存在的情况，应分类讨论。
全网搜索"2013年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅰ卷）：文数第21题"相关
