2013年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）：理数第19题<-->返回列表
（本小题满分14分）
已知函数。
（1）求函数的单调区间；
（2）证明：对任意的，存在唯一的，使；
（3）设（2）中所确定的关于的函数为，证明：当时，有。
（1）函数的定义域为，，令，得。
当变化时，，的变化情况如下表：
所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是。
（2）当时，。
令，由（1）知，在区间内单调递增，
，。
故存在唯一的，使得成立。
（3）因为，由（2）知，且，从而，其中。
要使成立，只需。
当时，若，则由的单调性，有，矛盾。
所以，即，从而成立。
另一方面，令，则，令，得。
当时，；当时，。
故对，，因此成立。
综上，当时，有。
本题主要考查函数的概念、函数的零点、导数的运算、利用导数研究函数的单调性、不等式。
（1）求函数的单调区间，只需对求导，求出的部分即为单调递减区间，的部分即为单调递增区间；
（2）构造辅助函数，令，则“对任意的，存在唯一的，使”等价于“在区间内只有一个零点”；
（3）本小问主要考查综合分析问题能力。令，则要使成立，只须。
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