2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）：文数第22题<-->返回列表
（本小题满分14分）
已知函数。
（Ⅰ）求的反函数的图象上图象上点处的切线方程；
（Ⅱ）证明：曲线与曲线有唯一公共点；
（Ⅲ）设，比较与的大小，并说明理由。
（Ⅰ）的反函数，则过点的切线斜率。，过点的切线方程为：。
（Ⅱ）令，，则的导数，且，因此当时，单调递减，当时，单调递增，所以在上单调递增，最多有一个零点，所以曲线与曲线只有唯一公共点。
（Ⅲ）
设函数（），则，所以（当且仅当时等号成立），所以单调递增。
当时，。令，则得到，所以。
（Ⅰ）由题得的反函数为，得出，则直线斜率为，过点的切线方程为。
（Ⅱ）判断两个曲线是否有唯一公共点可以转变为两曲线方程的差这一函数方程是否只有一个零点，由题得，，，根据得出当时，单调递减，
当时，单调递增，从而得出在上单调递增，最多有一个零点，所以曲线与曲线只有唯一公共点。
（Ⅲ）作差并将差式化简为的表达式，构造函数研究其单调性来判断函数与的大小关系，从而比较出大小。
全网搜索"2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）：文数第23题"相关
