2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）：理数第20题<-->2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）：理数第22题
（本小题满分12分）
在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手。各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名。观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手。
（Ⅰ）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
（Ⅱ）表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求的分布列和数学期望。
（Ⅰ）设事件表示：观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手。
观众甲选中3号歌手的概率为，观众乙未选中3号歌手的概率为。
所以。
因此，观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为。
（Ⅱ）表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，则可取。
观众甲选中3号歌手的概率为，观众乙选中3号歌手的概率为。
当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时，这时，。
当观众甲、乙、丙中只有1人选中3号歌手时，这时，
。
当观众甲、乙、丙中只有2人选中3号歌手时，这时，
当观众甲、乙、丙均选中3号歌手时，这时，。
的分布列如下表：
所以，数学期望。
本题主要考查独立事件和独立重复事件概率的求解。
（1）是两个独立事件同时成立的概率求解，分别求解甲选中3号的概率和乙选中3号的概率，乘积即为所求。
（2）分别求解的概率，然后列出分布列，求出数学期望。
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