2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）：文数第21题<-->返回列表
（本小题满分14分）
如图，已知椭圆与的中心在坐标原点，长轴均为且在轴上，短轴长分别为， ，过原点且不与轴重合的直线 与，的四个交点按纵坐标从大到小依次为。记，和的面积分别为和。
（Ⅰ）当直线 与轴重合时，若，求的值；
（Ⅱ）当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线，使得？并说明理由。
依题意可设椭圆和的方程分别为：，：。其中，。
（Ⅰ）若直线 与 轴重合，即直线 的方程为，则，，所以。在和的方程中分别令，可得，，，于是。若，则，化简得。由，可解得。故当直线 与轴重合时，若，则。
（Ⅱ）如图，若存在与坐标轴不重合的直线，使得。 根据对称性，不妨设直线：，点到直线的距离分别为，则因为，，所以。又，所以，即。由对称性可知，所以，，于是 ①。将的方程分别与，的方程联立，可求得，。根据对称性可知，，于是 ②，从而由①和②式可得 ③。令，则由，可得，于是由③可解得。因为，所以。于是③式关于有解，当且仅当，等价于由，可解得，，由，解得，所以：
当时，不存在与坐标轴不重合的直线，使得；
当时，存在与坐标轴不重合的直线，使得。
本题主要考查椭圆与直线的位置关系。
（Ⅰ）据题意分别计算出、的值，由即可得的值；
（Ⅱ）据对称性设是本题的关键，然后将的方程与椭圆的方程联立，最后对进行分类讨论是否存在符合题意的直线即可。
全网搜索"2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）：文数第22题"相关
