2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）：理数第21题<-->返回列表
（本小题满分14分）
设是正整数，为正有理数。
（Ⅰ）求函数 的最小值；
（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）设，记为不小于的最小整数，例如，，。令，求的值。
（参考数据：，，，）
（Ⅰ），所以
在上单减，在上单增。
所以。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当时，（就是伯努利不等式了）
所证不等式即为：
若，则
因为，，
所以，故①式成立。
若，显然成立。
所以，故②式成立。
综上可得原不等式成立。
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：当时，；
所以；
；
本题主要考查导数的运算在研究函数单调性中的应用。
（Ⅰ）本题应该先求出的导数，再令求出函数的极值点，并判断其单调性，便可求出其最小值。
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，得到在（且）上恒成立。然后从原条件出发，简化欲证不等式。再分别令和，并将其代入中化简得到相应条件，便可证明不等式。
（Ⅲ）本题从（Ⅱ）中证明的不等式出发，分别得出的取值范围，并利用叠加法，得到的取值范围。并根据题目中给定的数据，便可得到结果。
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