2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）：理数第20题<-->返回列表
（本小题满分14分）
设函数（）。
（1）当时，求函数的单调区间；
（2） 当时，求函数在上的最大值。
（1）当时，，
令，得，。
可知函数的递减区间为，递增区间为，。
（2），令，得，，令，则，所以在上递增，所以，从而，所以。所以当时，；当时，；所以。
令，则，令，则所以在上递减，而所以存在使得，且当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减。因为，所以在上恒成立，当且仅当时取得等号。
综上，函数在上的最大值。
在对函数求导时，要清楚它的作用，不妨用箭头标出它的作用。
本题主要考查导数的概念及其几何意义以及导数的计算。
（1）根据导数的几何意义求出函数的导数，即可求得函数的单调区间。
（2）由于值未确定，会影响导函数的变号实根与区间的位置关系，变号实根为，与作差得（用来讨论实根和区间的位置关系），，，可知变号实根在区间内，函数在区间先单调减，再单调增，最大值为，作差（用来判断最大值），，再判断导函数的正负，注意到的正负性容易得到，记（用来判断的单调性），，可知在上单调递减，，，必存在一根，先记为（），则在上单调递增，在上单调递减，又有，，故在上，，故最大值。
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