2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）：文数第18题<-->2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）：文数第20题
（本小题满分14分）
直线与椭圆相交与，两点，是坐标原点。
（1）当点的坐标为，且四边形为菱形时，求的长；
（2）当点在上且不是的顶点时，证明：四边形不可能为菱形。
（1）因为四边形为菱形，所以与互相垂直平分，所以可设，代入椭圆方程得，即，所以。
（2）假设四边形为菱形，因为点不是的顶点，且，所以。
由，消去并整理得 。
设，，则，，所以的中点。
因为为和的焦点，，，所以直线的斜率为。
因为，所以与不垂直，所以四边形不是菱形，与假设矛盾。
所以当不是的顶点，四边形不可能是菱形。
本题主要考查椭圆的性质。
（1）结合图象及菱形的性质，可得的坐标，从而得到；
（2）通过联立椭圆和直线方程，并结合菱形对角线垂直平分的性质，可以得出结论。
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