2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）：理数第19题<-->返回列表
（13分）
已知是由非负整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，第项之后各项的最小值记为，。
（1）若为，是一个周期为的数列（即对任意，），写出，，，的值；
（2）设是非负整数，证明：的充分必要条件为是公差为的等差数列；
（3）证明：若，，则的项只能是或者，且有无穷多个项为。
（1），。
（2）充分性：因为 是公差为的等差数列，且，所以。
因此 ，，。
必要性： 因为，所以。又因为，所以。
于是，，，因此：。
即 是公差为的等差数列。
（3）因为 ，，所以 ，。故对任意，。
假设中存在大于的项。
设为满足 的最小正整数，
则，并且对任意，。
又因为，所以，且。
于是，，，。
故，与矛盾。
所以对于任意，有 ，即非负整数列 的各项只能为或。
因为对任意 ，， 所以 。故。
因此对于任意正整数，存在满足，且 ，即数列有无穷多个项为。
本题主要考查数列，逻辑关系与不等式等知识。
（1）根据已知根除的的定义，直接求出，，，的值。
（2）分别证明充分性和必要性。充分性：由条件推导结论；必要性：由结论推导条件。
（3）本问采用反证法，假设存在大于的数，推导出与已知条件矛盾。即可得到假设不成立，故中没有大于的数，又由于是非负的正数数列，故中只可能是和。然后再进一步证明数列中存在无穷多个。
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