2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）：文数第20题<-->返回列表
（本小题满分13分）
已知椭圆的焦距为，且过点。
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为椭圆上一点，过点作轴的垂线，垂足为。取点，连接，过点作的垂线交轴于点。点是点关于轴的对称点，作直线，问这样作出的直线是否与椭圆一定有唯一的公共点？并说明理由。
（Ⅰ）因为焦距为，所以。
又因为椭圆过点，所以。
故，从而椭圆的方程为。
（Ⅱ）由题意，点坐标为，设，
则，
再由知，，即。
由于，故。
因为点是点关于轴的对称点，所以点。
故直线的斜率。
又因在椭圆上，所以①
从而，故直线的方程为②
将②代入椭圆方程，得：③
再将①代入③，化简得：。
解得，即直线与椭圆一定有唯一的公共点。
本题主要考查椭圆方程及几何性质，直线与椭圆的位置关系，及数形结合思想。
（Ⅰ）依据所给两个条件焦距为4、过点，可出列方程组，解出值，得到椭圆方程。
（Ⅱ）直线与椭圆的公共点个数即为直线与椭圆方程联立得的解的个数。设出点坐标，利用所给条件可进一步表示出坐标，得到方程，并把直线方程与椭圆方程联立，求解，即得直线与椭圆一定有唯一的公共点。
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