2012年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）：理数第21题<-->返回列表
（本小题满分14分）
已知，，函数。
（1）证明：当时，
（i）函数的最大值为；
（ii） ；
（2）若对恒成立，求的取值范围。
（1）（i）。
当时，有，此时在上单调递增。
当时，。此时在上单调递减，在上单调递增。
所以当时，
（ii）由于，故当时，
当时，
设，则。
所以，。所以当时，。故。
（2）由（i）知，当时，，所以。若，则由（ii）知，。所以对任意恒成立的充要条件是，即，或，在直角坐标系中，所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，其中不包括线段，做一组平行直线，得，所以的取值范围是。
本题主要考查利用导函数判断函数单调性和利用线性规划求解极值。
（1）（i）先对函数求导，得导函数，讨论和两种情况下函数的单调性，求得。
（ii） 分别讨论和两种情况下，对进行放缩。再令，对其求导，分析其单调性，求得。故可得。
（2）列出对任意恒成立的充要条件，画出不等式组的平面区域图，设目标函数为，可求得的取值范围为。
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