2012年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）：文数第22题<-->返回列表
（本小题满分14分）
设函数。
（Ⅰ）设，，，证明：在区间内存在唯一的零点；
（Ⅱ）设为偶数，，，求的最小值和最大值；
（Ⅲ）设，若对任意，有，求的取值范围。
（Ⅰ）由题意可知：。因为，所以在内存在零点。又当时，，故在上单调递增。故在内存在唯一零点。
（Ⅱ）由题意知，即。
作出可行域如图所示，由图象可知：在点取得最小值，在点取得最大值。
（Ⅲ）当时，。对任意都有等价于在上的最大值与最小值之差不大于。
（ⅰ）当，即时，，与题设矛盾；
（ⅱ）当时，即时，恒成立；
（ⅲ)当时，即时，恒成立。
综上所述，。
本题主要考查导数的计算，导数在研究函数单调性中的应用以及利用线性规划求变量范围。
（Ⅰ）代入，，写出函数的解析式，首先通过证明在内存在零点，然后证明在上单调，则可证得“在内存在唯一零点”。
（Ⅱ）由，可列出关于的不等式组，目标函数，作出可行域，利用图像得在点取得最小值，在点取得最大值。
（Ⅲ）代入，得函数解析式，为二次函数。“任意，有，求的取值范围”可转化为“求在上，使函数满足最大值与最小值之差小于等于的的取值范围”。因为二次函数最值必在边界或对称轴处取得，对函数对称轴在区间外、内部左半段、右半段分类讨论，求出的取值范围。
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