2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）：理数第17题<-->2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）：理数第19题
（本题满分12分）
在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，，，，。
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值。
（Ⅰ）因为平行四边形是等腰梯形，，，所以 ，又，所以，因此，。又，且，，平面
，所以平面。
（Ⅱ）
由（Ⅰ）知，所以，又平面。因此，，两两垂直，以为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，，，。因此，。设平面的一个法向量为，则，，所以，取，则。由于是平面的一个法向量，则，所以 二面角的余弦值为。
本题主要考查立体几何中线面垂直关系的证明和空间直角坐标系在立体几何中的应用。
（Ⅰ）欲证明，只需证明与平面上的两条相交直线垂直。由题可证得，，即得证。
（Ⅱ）以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，可先设，可先求得平面的一个法向量为，代入二面角余弦值公式得。故二面角的余弦值为。
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