2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）：理数第21题<-->返回列表
（本小题满分13分）
已知函数，其中。
（Ⅰ）若对一切，恒成立，求的取值集合。
（Ⅱ）在函数的图像上取定两点，，记直线的斜率为。问：是否存在，使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由。
（Ⅰ）若，则对一切，，这与题设矛盾，又，故。而，令得：。
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，故当时，取最小值 。于是对一切，恒成立，当且仅当
令，则。
当时，，单调递增；
当时，单调递减。故当时，取最大值。因此，当且仅当，即时，①式成立。综上所述，的取值集合为。
（Ⅱ）由题意知，，令，则，。令，则。
当时，，单调递增，故当，，即。从而，，又，，所以。因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在，使，，单调递增，故这样的是唯一的，且，故当且仅当时， 。
综上所述，存在，使成立，且的取值范围为。
本题主要考查利用导函数求解函数的极值和分析函数单调性。
（Ⅰ）对函数求导得导函数，分析导函数求得其极小值为。即得。再令可得取最大值，故当且仅当即时，不等式成立。故的取值集合为。
（Ⅱ）分析可得，令，则应证明存在，使得。对函数求导，分析其单调性，判断其极值的大小。在中，。故可得证。
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