2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）：文数第21题<-->返回列表
（本小题满分14分）
已知函数，且在上的最大值为。
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数在内的零点个数，并加以证明。
（1）由已知得，对于任意，有。
当时，，不合题意；
当，时，，从而在内单调递减，
又在上的图象是连续不断的，故在上的最大值为，不合题意；
当，时，，从而在内单调递增，
又在上的图象是连续不断的，故在上的最大值为，即，解得。
综上所述，得。
（2）在内有且只有两个零点。
证明如下：由（1）知，，从而有，。
又在上的图象是连续不断的，所以在内至少存在一个零点。
又由（1）知，在上单调递增，故在内有且仅有一个零点。
当时，令，由，，且在上的图象是连续不断的，故存在，使得。
由，知时，有，从而在内单调递减。
当时，，即，从而在内单调递增。
故当时，，故在上无零点；
当时，有，即，从而在内单调递减。
又，，且在上的图象是连续不断的，从而在内有且仅有一个零点。
综上所述，在内有且只有两个零点。
本题主要考查导数的计算和导数在研究函数性质方面的应用。
（1）通过导函数分类讨论得出极值点，从而求函数的最大值，进而通过方程得出的取值。
（2）通过导函数确定函数的走势和极值，运用数形结合得出结论。
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