2012年普通高等学校招生全国统一考试（大纲卷）：理数第21题<-->返回列表
（本小题满分12分）
函数，定义数列如下：，是过两点、的直线与轴交点的横坐标
（1）证明：；
（2）求数列的通项公式。
（1）用数学归纳法证明：。
（i）当时，，，令，解得，所以。
（ii）假设时，结论成立，即，直线的方程为，令，解得。
由归纳假设知，，即，所以，即当时，结论成立。
由（i）、（ii）知对任意的正整数，。
（2）由（1）及题意得，
设，则，，
数列是首项为，公比为的等比数列，因此，即，
所以数列的通项公式为。
本题主要考查递推数列的应用。
（1）使用数学归纳法，使用直线方程解出递推公式，利用递推公式得到结论。
（2）使用递推公式，换元，然后得到是等差数列，然后得到通项公式，最终得到通项公式。
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