2012年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）：文数第20题<-->返回列表
（本题满分12分）
如图，设椭圆的中心为原点，长轴在轴上，上顶点为，左、右焦点分别为，，线段，的中点分别为，，且是面积为4的直角三角形。
（1）求该椭圆的离心率和标准方程；
（2）过作直线交椭圆于，两点，使，求的面积。
（1）设所求椭圆的标准方程为，右焦点为。因为△是直角三角形，又，故为直角，因此，结合 ，得 ，故所求离心率。在中， ，故。由题设条件，得，从而。因此所求椭圆的标准方程为：。
（2）由（1）可知： ，，由题意知直线的倾斜角不为，故可设直线的方程为： ，代入椭圆方程得。设， ，则 是上面方程的两根，因此，。又 ，，所以
由 ，得： ，即 ，解得：。
当时，方程（*）化为，故，。此时的面积为。同理可知，当时，的面积为。
综上所述，的面积为。
本题主要考查椭圆与直线的相关知识。
（1）由已知条件中是面积为4的直角三角形，及椭圆离心率的定义，建立相应的方程并联立即可得出答案。
（2）由已知条件设出直线的方程，与椭圆方程联立，设、两点的坐标，再求出，然后再根据，即可求得未知参数的值，由此即可得出答案。
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