2012年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）：理数第20题<-->返回列表
（本小题满分13分）
数列满足，。
（Ⅰ）证明：是递减数列的充分必要条件是；
（Ⅱ）求的取值范围，使是递增数列。
（Ⅰ）充分性：若，由于，故是递减数列；
必要性：若是递减数列，则由，可得。
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，。
（i）当时，，不合题意；
（ii）当时，，，， ；
当时，
与同号，由，；
当时，存在，使与异号，与数列是单调递减数列矛盾。故的取值范围是。
本题和2011年大纲卷一压轴题是同一形式的题目，都是根据数列单调有界，得出数列有极限的结论，然后在递推式中两边取极限解出极限值（含参），令极限值小于等于上界即可。本题中，由数列单调可得出有上界（）。2011年大纲卷一的上界是由题设给出的。
本题主要考查数列的基本概念、证明方法。
（Ⅰ）充分性可直接证明，必要性利用特例即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得出，通过将的范围缩小至，观察与可发现是变号节点，细分讨论即可得出的取值范围。
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