2011年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）：理数第16题<-->2011年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）：理数第18题
（本小题满分13分）
如图，在三棱柱中，是正方形的中心，，平面，且。
（Ⅰ）求异面直线与所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）设为棱的中点，点在平面内，且平面，求线段的长。
如图所示，建立空间直角坐标系，点为坐标原点。
依题意得：，，，，。
（Ⅰ）易得：，，
于是。
所以异面直线的与所成角的余弦值为。
（Ⅱ）易知：，，
设平面的法向量，
则，即。
不妨令，可得。
同理可得平面的一个法向量为：。
于是，从而。
所以二面角的正弦值为。
（Ⅲ）由为棱的中点，得。
设，则。
由平面，得。
即，
解得：，故。
因此，所以线段的长为：。
本题主要考查空间几何体几何量的计算，空间向量在立体几何问题中的应用。
（Ⅰ）建立空间直角坐标系，写出各点坐标，将各直线用向量形式表示，应用余弦定理求解。
（Ⅱ）用空间向量求二面角常用的方法是：求出两个平面的法向量，应用余弦定理求解两个法向量的夹角，之后应考虑几何体的实际情况，校对符号。（余弦值与角度大小有关，若为钝角，值为负，若为锐角，值为正。）
（Ⅲ）设出点坐标，由题中所给的已知条件列出方程求解。线段长度即线段所在向量的模。
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