2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）：理数第20题<-->2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）：理数第22题
（本题满分12分）
某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且。假设该容器的建造费用仅与其表面积有关。已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为（）千元。设该容器的建造费用为千元。
（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的。
（Ⅰ）由题意可知，则，解得，
容器的建造费用为，
即，定义域为。
（Ⅱ），令，得。令，即，
（1）当时， ，当时，，函数为减函数，当时有最小值；
（2）当时，当时，；当时，，此时当时有最小值。
本题主要考查导数在实际生活中的应用。
（Ⅰ）本题应该用来表示容器的容积，并根据题目中的数值建立相对应的等量关系，从而得到。进而求出关于的表达式。另外注意题目中的约束条件，据此可得到的取值范围。
（Ⅱ）对（Ⅰ）中得到的函数关系进行求导，找出函数在实数范围的极值点。由（Ⅰ）中得到的的取值范围，得到函数在区间的变化情况，进而可以得到容器建造费用最小时的。注意函数取极值时的值不一定是满足条件的值，在本题中函数取极值时的可能在区间之外。
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