2011年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）：文数第19题<-->2011年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）：文数第21题
（本题满分13分）
设。
（1）如果在处取得最小值，求的解析式；
（2）如果，在单调递减区间的长度是正整数，试求和的值。（注：区间的长度为）
（1）由题可得。已知在处取极小值，所以，即，，故的解析式为。
（2）由，且的单调递减区间的长度为正整数，故一定有两个不同的根，从而即。不妨设为，，则为正整数。故当时才有符合条件的，。当时，只有符合要求；当时，只有符合要求；当时，没有符合条件的。综上所述，只有，或，满足上述要求。
本题主要考查函数最值和函数单调性的求解。
（1）先写出的表达式，可知是二次函数，利用配方法可得，则，解出，即可求得的解析式。
（2）由的单调递减区间的长度为正整数可知一定有两个不同的根，即即。设函数的两个极值点横坐标分别为，，则有，然后在满足的条件下分类讨论符合要求的情况即可。
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