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2011年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷):理数第18题

(2011北京卷计算题)

(本小题满分13分)

已知函数

(1)求的单调区间;

(2)若对于任意的,都有,求的取值范围。

【出处】
2011年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷):理数第18题
【答案】

(1)。令,得。当时,的情况如下:

所以,的单调递增区间是;单调递减区间是

时,的情况如下:

所以,的单调递减区间是;单调递增区间是

(2)当时,因为,所以不会有。当时,由(1)知上的最大值是,所以等价于,解得

【解析】

本题主要考查函数的求导和函数的单调性问题。

(1)先对函数求导得。当时,单调递增,求得的的取值范围即为单调增区间;当时,单调递减,求得的的取值范围即为单调减区间。

(2)利用函数的单调性,求得的最大值,代入不等式,即可求得的取值范围。 

【考点】
导数在研究函数中的应用
【标签】
函数与方程的思想
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