（5分）已知圆锥的顶点为$P$，底面圆心为$O$，$AB$为底面直径，$\angle APB=120^\circ$，$PA=2$，点$C$在底面圆周上，且二面角$P-AC-O$为$45^\circ$，则$($　　$)$
A．该圆锥的体积为$\pi$              B．该圆锥的侧面积为$4\sqrt{3}\pi$              
C．$AC=2\sqrt{2}$              D．$\Delta PAC$的面积为$\sqrt{3}$
答案：$AC$
分析：作图，取$AC$中点$D$，易知$\angle PDO=45^\circ$，然后再逐项分析判断即可．
解：取$AC$中点$D$，则$OD\bot AC$，$PD\bot AC$，

由二面角的定义可知，二面角$P-AC-O$的平面角即为$\angle PDO=45^\circ$，
对于$A$，$\Delta PAB$中，由于$PA=PB=2$，$\angle APB=120^\circ$，
则$PO=1$，$AO=\sqrt{3}$，
则$OD=1$，$V=\dfrac{1}{3}\cdot 3\pi \cdot 1=\pi$，选项$A$正确．
对于$B$，${{S}_{}}=\pi \times \sqrt{3}\times 2=2\sqrt{3}\pi $，选项$B$错误．
对于$C$，$AC=2\sqrt{3-1}=2\sqrt{2}$，选项$C$正确．
对于$D$，$PD=\sqrt{2}$，${{S}_{\Delta PAC}}=\dfrac{1}{2}\times \sqrt{2}\times 2\sqrt{2}=2$，选项$D$错误．
故选：$AC$．
点评：本题考查二面角的定义，考查立体几何中的距离求解，考查运算求解能力，属于中档题．