| 2023年高考数学新高考Ⅰ-16 |
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2023-07-08 11:02:42 |
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（5分）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2．点A在C上，点B在y轴上，→F1A⊥→F1B，→F2A=−23→F2B，则C的离心率为 3√55 ．
分析：（法一）设F1(−c,0)，F2(c,0)，B(0,n)，根据题意可得点A的坐标，进一步得到→F1A=(83c,−23n),→F1B=(c,n)，再由→F1A⊥→F1B，可得n2=4c2．结合点A在双曲线上，可得解；
（法二）易知|→F2A||→F2B|=23，设|→F2A|=2t,|→F2B|=3t，∠F1AF2=θ，解三角形可知5c2=9a2，进而得解．
解：
（法一）如图，设F1(−c,0)，F2(c,0)，B(0,n)，
设A(x,y)，则→F2A=(x−c,y),→F2B=(−c,n)，
又→F2A=−23→F2B，则{x−c=23cy=−23n，可得A(53c,−23n)，
又→F1A⊥→F1B，且→F1A=(83c,−23n),→F1B=(c,n)，
则→F1A⋅→F1B=83c2−23n2=0，化简得n2=4c2．
又点A在C上，
则259c2a2−49n2b2=1，整理可得25c29a2−4n29b2=1，
代n2=4c2，可得25c2a2−16c2b2=9，即25e2−16e2e2−1=9，
解得e2=95或15（舍去），
故e=3√55．
（法二）由→F2A=−23→F2B，得|→F2A||→F2B|=23，
设|→F2A|=2t,|→F2B|=3t，由对称性可得|→F1B|=3t，
则|→AF1|=2t+2a,|→AB|=5t，
设∠F1AF2=θ，则sinθ=3t5t=35，
所以cosθ=45=2t+2a5t，解得t=a，
所以|→AF1|=2t+2a=4a,|→AF2|=2a，
在△AF1F2 中，由余弦定理可得cosθ=16a2+4a2−4c216a2=45，
即5c2=9a2，则e=3√55．
故答案为：3√55．
点评：本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
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