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2023年高考数学新高考Ⅰ-12

  2023-07-08 11:00:36  

(5分)下列物体中,能够被整体放入棱长为1(单位:$m)$的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有$($  $)$
A.直径为$0.99m$的球体              
B.所有棱长均为$1.4m$的四面体              
C.底面直径为$0.01m$,高为$1.8m$的圆柱体              
D.底面直径为$1.2m$,高为$0.01m$的圆柱体
答案:$ABD$
分析:对于$A$,由正方体的内切球直径大于0.99可判断;对于$B$,由正方体内部最大的正四面体的棱长大于1.4可判断;对于$C$,由正方体的体对角线小于1.8可判断;对于$D$,取$E$,$F$,$G$,$H$,$I$,$J$都为棱中点,则六边形$EFGHIJ$为正六边形,由正六边形的内切圆直径大于1.2可判断.
解:对于$A$,棱长为1的正方体内切球的直径为$1 > 0.99$,选项$A$正确;
对于$B$,如图,

正方体内部最大的正四面体$D-A_{1}BC_{1}$的棱长为$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{2} > 1.4$,选项$B$正确;
对于$C$,棱长为1的正方体的体对角线为$\sqrt{3} < 1.8$,选项$C$错误;
对于$D$,如图,六边形$EFGHIJ$为正六边形,$E$,$F$,$G$,$H$,$I$,$J$为棱的中点,

高为0.01米可忽略不计,看作直径为1.2米的平面圆,
六边形$EFGHIJ$棱长为$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$米,$\angle GFH=\angle GHF=30^\circ$,
所以$FH=\sqrt{3}FG=\sqrt{3}GH=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$米,故六边形$EFGHIJ$内切圆直径为$\dfrac{\sqrt{6}}{2}$米,
而$(\dfrac{\sqrt{6}}{2})^{2}=\dfrac{3}{2} > (1.2)^{2}=1.44$,选项$D$正确.
故选:$ABD$.
点评:本题考查简单几何体的体积,考查空间想象能力与运算求解能力,属于中档题.

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