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2022年高考数学上海春16

  2022-12-16 20:50:25  

(5分)已知等比数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$,前$n$项积为$T_{n}$,则下列选项判断正确的是(  )
A.若$S_{2022} > S_{2021}$,则数列$\{a_{n}\}$是递增数列              
B.若$T_{2022} > T_{2021}$,则数列$\{a_{n}\}$是递增数列              
C.若数列$\{S_{n}\}$是递增数列,则$a_{2022}\geqslant a_{2021}$              
D.若数列$\{T_{n}\}$是递增数列,则$a_{2022}\geqslant a_{2021}$
分析:反例判断$A$;反例判断$B$;构造等比数列,结合等比数列的性质判断$C$;推出数列公比以及数列项的范围,即可判断$D$.
解:如果数列$a_{1}=-1$,公比为$-2$,满足$S_{2022} > S_{2021}$,但是数列$\{a_{n}\}$不是递增数列,所以$A$不正确;
如果数列$a_{1}=1$,公比为$-\dfrac{1}{2}$,满足$T_{2022} > T_{2021}$,但是数列$\{a_{n}\}$不是递增数列,所以$B$不正确;
如果数列$a_{1}=1$,公比为$\dfrac{1}{2}$,$S_{n}=\dfrac{1-(\dfrac{1}{2})^{\;n}}{\dfrac{1}{2}}=2(1-\dfrac{1}{{2}^{n}})$,数列$\{S_{n}\}$是递增数列,但是$a_{2022} < a_{2021}$,所以$C$不正确;
数列$\{T_{n}\}$是递增数列,可知$T_{n} > T_{n-1}$,可得$a_{n} > 1$,所以$q\geqslant 1$,可得$a_{2022}\geqslant a_{2021}$正确,所以$D$正确;
故选:$D$.
点评:本题考查数列的应用,等比数列的性质的应用,是中档题.

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