91学 首页 > 数学 > 高考题 > 2022 > 2022年天津 > 正文 返回 打印

2022年高考数学天津8

  2022-12-16 20:38:14  

(5分)如图,“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象,重叠后的底面为正方形,直三棱柱的底面是顶角为$120^\circ$,腰为3的等腰三角形,则该几何体的体积为(  )

A.23              B.24              C.26              D.27
分析:根据题目插图和题干对“十字歇山”的结构特征的描述,作出几何体直观图,再求出该组合体的体积.
解:如图,该组合体由直三棱柱$AFD-BHC$和直三棱柱$AEB-DGC$组成,且$ABCD$为正方形,

设重叠后的$EG$与$FH$交点为$I$,
作$HM\bot CB$于$M$,因为$CH=BH=3$,$\angle CHB=120^\circ$,
所以$CM=BM=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$,$HM=\dfrac{3}{2}$,$BC=AB=3\sqrt{3}$,
方法①:四个形状相同的三棱锥$(I-AEB$、$I-BCH$,$I-CDG$、$I-ADF)$的体积之和,加上正四棱锥$I-ABCD$的体积:
在直棱柱$AFD-BHC$中,$AB\bot$平面$BHC$,则$AB\bot HM$,
由$AB\bigcap BC=B$可得$HM\bot$平面$ADCB$,
正四棱锥$I-ABCD$的高等于$HM$的长,
$V_{I-AEB}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2}\times 3\sqrt{3}\times \dfrac{3}{2}\times \dfrac{3\sqrt{3}}{2}=\dfrac{27}{8}$,$V_{I-ABCD}=\dfrac{1}{3}\times 3\sqrt{3}\times 3\sqrt{3}\times \dfrac{3}{2}=\dfrac{27}{2}$,
该组合体的体积$V=V_{I-AEB}\times 4+V_{I-ABCD}=\dfrac{27}{8}\times 4+\dfrac{27}{2}=27$;
方法②:两个直三棱柱体积相加,再减去重叠部分(正四棱锥$I-ABCD)$的体积:
在直棱柱$AFD-BHC$中,$AB\bot$平面$BHC$,则$AB\bot HM$,
由$AB\bigcap BC=B$可得$HM\bot$平面$ADCB$,
正四棱锥$I-ABCD$的高等于$HM$的长,
$V_{I-ABCD}=\dfrac{1}{3}\times 3\sqrt{3}\times 3\sqrt{3}\times \dfrac{3}{2}=\dfrac{27}{2}$,$V_{AFD-BHC}=\dfrac{1}{2}\times 3\sqrt{3}\times \dfrac{3}{2}\times 3\sqrt{3}=\dfrac{81}{4}$,
该组合体的体积$V=V_{AFD-BHC}\times 2-V_{I-ABCD}=2\times \dfrac{81}{4}-\dfrac{27}{2}=27$.
故选:$D$.
点评:本题主要考查组合体结构的认识即体积的求法,需要具备一定的直观想象能力,属于中档题.

http://x.91apu.com//shuxue/gkt/2022/2022tj/2022-12-16/33563.html