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2022年高考数学乙卷-理19

  2022-12-16 17:38:00  

(12分)某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了10棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积(单位:$m^{2})$和材积量(单位:$m^{3})$,得到如下数据:
样本号$i$ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
根部横截面积$x_{i}$ 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
材积量$y_{i}$ 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9

 并计算得$\sum\limits_{i=1}^{10}x_{i}^{2}=0.038$,$\sum\limits_{i=1}^{10}y_{i}^{2}=1.6158$,$\sum\limits_{i=1}^{10}x_{i}y_{i}=0.2474$.
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到$0.01)$;
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面积总和为$186m^{2}$.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.
附:相关系数$r=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n{({{x_i}-\overline{x}})}({{y_i}-\overline{y}})}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n{{({{x_i}-\overline{x}})}^2}\sum\limits_{i=1}^n{{({{y_i}-\overline{y}})}^2}}}$,$\sqrt{1.896}\approx 1.377$.
分析:根据题意结合线性回归方程求平均数、样本相关系数,并估计该林区这种树木的总材积量的值即可.
解答:解:(1)设这种树木平均一棵的根部横截面积为$\overline{x}$,平均一棵的材积量为$\overline{y}$,
则根据题中数据得:$\overline{x}=\dfrac{0.6}{10}=0.06m^{2}$,$\overline{y}=\dfrac{3.9}{10}=0.39m^{3}$;
(2)由题可知,$r=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{10}({x}_{i}-\overline{x})({y}_{i}-\overline{y})}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{10}({x}_{i}-\overline{x})^{2}\sum\limits_{i=1}^{10}({y}_{i}-\overline{y})^{2}}}=\dfrac{0.0134}{\sqrt{0.002\times 0.0948}}=\dfrac{0.0134}{0.01\times \sqrt{1.896}}=\dfrac{0.0134}{0.01377}\approx 0.97$;
(3)设总根部面积和$X$,总材积量为$Y$,则$\dfrac{X}{Y}=\dfrac{\overline{x}}{\overline{y}}$,故$Y=\dfrac{0.39}{0.06}\times 186=1209(m^{3})$.
点评:本题考查线性回归方程,属于中档题.

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