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2022年高考数学甲卷-理19

  2022-12-16 17:38:00  

(12分)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.
(1)求甲学校获得冠军的概率;
(2)用$X$表示乙学校的总得分,求$X$的分布列与期望.
分析:根据相互独立事件的概率乘法公式,可以求出甲学校获胜2场或者3场的概率,可以得到甲学校获得冠军的概率;乙学校的总得分$X$的值可取0,10,20,30,分别求出$X$取上述值时的概率,可得分布列与数学期望.
解答:解:(1)甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,可以得到两个学校每场比赛获胜的概率如下表:
  第一场比赛  第二场比赛 第三场比赛
甲学校获胜概率 0.5 0.4 0.8
乙学校获胜概率 0.5 0.6 0.2

 甲学校要获得冠军,需要在3场比赛中至少获胜2场,
①甲学校3场全胜,概率为:$P_{1}=0.5\times 0.4\times 0.8=0.16$,
②甲学校3场获胜2场败1场,概率为:$P_{2}=0.5\times 0.4\times 0.2+0.5\times 0.6\times 0.8+0.5\times 0.4\times 0.8=0.44$,
所以甲学校获得冠军的概率为:$P=P_{1}+P_{2}=0.6$;
(2)乙学校的总得分$X$的可能取值为:0,10,20,30,其概率分别为:
$P(X=0)=0.5\times 0.4\times 0.8=0.16$,
$P(X=10)=0.5\times 0.4\times 0.2+0.5\times 0.6\times 0.8+0.5\times 0.4\times 0.8=0.44$,
$P(X=20)=0.5\times 0.6\times 0.8+0.5\times 0.4\times 0.2+0.5\times 0.6\times 0.2=0.34$,
$P(X=30)=0.5\times 0.6\times 0.2=0.06$,
则$X$的分布列为:
$X$ 0 10 20 30
$P$ 0.16 0.44 0.34 0.06

$X$的期望$EX=0\times 0.16+10\times 0.44+20\times 0.34+30\times 0.06=13$.
解答:本题考查随机变量的分布列与数学期望的计算,难度不大.

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