91学 首页 > 数学 > 高考题 > 2022 > 2022年新高考1 > 正文 返回 打印

2022年高考数学新高考Ⅰ-22

  2022-12-15 16:33:42  

(12分)已知函数$f(x)=e^{x}-ax$和$g(x)=ax-\ln x$有相同的最小值.
(1)求$a$;
(2)证明:存在直线$y=b$,其与两条曲线$y=f(x)$和$y=g(x)$共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
分析:(1)先对两个函数求导,然后由函数有相同的最小值得到函数$f(x)$和$g(x)$的单调性,从而求得$f'(x)$和$g'(x)$的零点,进而得到函数的最小值,然后列出方程求得$a$的值;
(2)由$a$的值可求得函数$f(x)$与函数$g(x)$的表达式,对函数$f(x)$与函数$g(x)$在$(0,+\infty )$上的大小进行比较,可作出曲线函数$y=f(x)$和$y=g(x)$的大致图象,根据该图象可确定直线$y=b$的位置,分别求出三个交点的横坐标的表达式后,证明其成等差数列即可.
解:(1)$f(x)$定义域为$R$,
$\because f(x)=e^{x}-ax$,
$\therefore f'(x)=e^{x}-a$,
若$a\leqslant 0$,
则$f'(x) > 0$,$f(x)$无最小值,
故$a > 0$,
当$f'(x)=0$时,$x=\ln a$,当$g'(x)=0$时,$x=\dfrac{1}{a}$,
当$x < \ln a$时,$f'(x) < 0$,函数$f(x)$在$(-\infty ,\ln a)$上单调递减,
当$x > \ln a$时,$f'(x) > 0$,函数$f(x)$在$(\ln a,+\infty )$上单调递增,
故$f(x)_{min}=f(\ln a)=a-a\ln a$,
$g(x)$的定义域为$(0,+\infty )$,
$\because g(x)=ax-\ln x$,
$\therefore g'(x)=a-\dfrac{1}{x}$,
令$g'(x)=0$,解得$x=\dfrac{1}{a}$,
当$0 < x < \dfrac{1}{a}$时,$g'(x) < 0$,函数$g(x)$在$(0,\dfrac{1}{a})$上单调递减,
当$x > \dfrac{1}{a}$时,$g'(x) > 0$,函数$g(x)$在$(\dfrac{1}{a}$,$+\infty )$上单调递增,
故$g(x)_{min}=1+\ln a$,
$\because$函数$f(x)=e^{x}-ax$和$g(x)=ax-\ln x$有相同的最小值
$\therefore a-a\ln a=1+\ln a$,
$\because a > 0$,
$\therefore a-a\ln a=1+\ln a$化为$\ln a-\dfrac{a-1}{a+1}=0$,
令$h(x)=\ln x-\dfrac{x-1}{x+1}$,$x > 0$,
则$h'(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{x+1-(x-1)}{(x+1)^{2}}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{(x+1)^{2}}=\dfrac{{x}^{2}+1}{x(x+1)^{2}}$,
$\because x > 0$,
$\therefore h'(x)=\dfrac{{x}^{2}+1}{x(x+1)^{2}} > 0$恒成立,
$\therefore h(x)$在$(0,+\infty )$上单调递增,
又$\because h$(1)$=0$,
$\therefore h$(a)$=h$(1),仅有此一解,
$\therefore a=1$.
(2)证明:由(1)知$a=1$,函数$f(x)=e^{x}-x$在$(-\infty ,0)$上单调递减,在$(0,+\infty )$上单调递增,
函数$g(x)=x-\ln x$在$(0,1)$上单调递减,在$(1,+\infty )$上单调递增,
设$u(x)=f(x)-g(x)=e^{x}-2x+\ln x(x > 0)$,
则$u\prime (x)=e^{x}-2+\dfrac{1}{x} > e^{x}-2$,当$x\geqslant 1$时,$u\prime (x)\geqslant e-2 > 0$,
所以函数$u(x)$在$(1,+\infty )$上单调递增,因为$u$(1)$=e-2 > 0$,
所以当$x\geqslant 1$时,$u(x)\geqslant u$(1)$ > 0$恒成立,即$f(x)-g(x) > 0$在$x\geqslant 1$时恒成立,
所以$x\geqslant 1$时,$f(x) > g(x)$,
因为$f(0)=1$,函数$f(x)$在$(0,+\infty )$上单调递增,$g$(1)$=1$,函数$g(x)$在$(0,1)$上单调递减,
所以函数$f(x)$与函数$g(x)$的图象在$(0,1)$上存在唯一交点,设该交点为$(m$,$f(m))(0 < m < 1)$,
此时可作出函数$y=f(x)$和$y=g(x)$的大致图象,

由图象知当直线$y=b$与两条曲线$y=f(x)$和$y=g(x)$共有三个不同的交点时,
直线$y=b$必经过点$M(m$,$f(m))$,即$b=f(m)$,
因为$f(m)=g(m)$,所以$e^{m}-m=m-\ln m$,即$e^{m}-2m+\ln m=0$,
令$f(x)=b=f(m)$得$e^{x}-x=e^{m}-m=m-\ln m$,解得$x=m$或$x=\ln m$,由$0 < m < 1$,得$\ln m < 0 < m$,
令$g(x)=b=f(m)$得$x-\ln x=e^{m}-m=m-\ln m$,解得$x=m$或$x=e^{m}$,由$0 < m < 1$,得$m < 1 < e^{m}$,
所以当直线$y=b$与两条曲线$y=f(x)$和$y=g(x)$共有三个不同的交点时,
从左到右的三个交点的横坐标依次为,$\ln m$,$m$,$e^{m}$,
因为$e^{m}-2m+\ln m=0$,所以$e^{m}+\ln m=2m$,
所以$\ln m$,$m$,$e^{m}$成等差数列.
$\therefore$存在直线$y=b$,其与两条曲线$y=f(x)$和$y=g(x)$共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
点评:本题考查了导数的应用,利用导数求函数的单调性,函数的零点,解题的关键是利用函数的单调性求得$x_{1}$、$x_{3}$和$x_{2}$的数量关系.

http://x.91apu.com//shuxue/gkt/2022/2022xgk1/2022-12-15/33399.html