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2022年高考数学新高考Ⅰ-18

  2022-12-15 15:52:18  

(12分)记ΔABC的内角ABC的对边分别为abc,已知cosA1+sinA=sin2B1+cos2B
(1)若C=2π3,求B
(2)求a2+b2c2的最小值.
分析:(1)利用倍角公式、和差公式、三角形内角和定理即可得出B
(2)利用诱导公式把AC表示,再利用正弦定理、倍角公式、基本不等式即可得出结论.
解:(1)cosA1+sinA=sin2B1+cos2B1+cos2B=2cos2B0cosB0
cosA1+sinA=2sinBcosB2cos2B=sinBcosB
化为:cosAcosB=sinAsinB+sinB
cos(B+A)=sinB
cosC=sinBC=2π3
sinB=12
0<B<π3B=π6
(2)由(1)可得:cosC=sinB>0cosC<0C(π2π)
C为钝角,BA都为锐角,B=Cπ2
sinA=sin(B+C)=sin(2Cπ2)=cos2C
a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C=cos22C+cos2Csin2C=(12sin2C)2+(1sin2C)sin2C=2+4sin4C5sin2Csin2C=2sin2C+4sin2C522×45=425,当且仅当sinC=142时取等号.
a2+b2c2的最小值为425
点评:本题考查了倍角公式、和差公式、三角形内角和定理、余弦定理、基本不等式、转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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