(12分)记ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cosA1+sinA=sin2B1+cos2B. (1)若C=2π3,求B; (2)求a2+b2c2的最小值. 分析:(1)利用倍角公式、和差公式、三角形内角和定理即可得出B. (2)利用诱导公式把A用C表示,再利用正弦定理、倍角公式、基本不等式即可得出结论. 解:(1)∵cosA1+sinA=sin2B1+cos2B,1+cos2B=2cos2B≠0,cosB≠0. ∴cosA1+sinA=2sinBcosB2cos2B=sinBcosB, 化为:cosAcosB=sinAsinB+sinB, ∴cos(B+A)=sinB, ∴−cosC=sinB,C=2π3, ∴sinB=12, ∵0<B<π3,∴B=π6. (2)由(1)可得:−cosC=sinB>0,∴cosC<0,C∈(π2,π), ∴C为钝角,B,A都为锐角,B=C−π2. sinA=sin(B+C)=sin(2C−π2)=−cos2C, a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C=cos22C+cos2Csin2C=(1−2sin2C)2+(1−sin2C)sin2C=2+4sin4C−5sin2Csin2C=2sin2C+4sin2C−5⩾2√2×4−5=4√2−5,当且仅当sinC=14√2时取等号. ∴a2+b2c2的最小值为4√2−5. 点评:本题考查了倍角公式、和差公式、三角形内角和定理、余弦定理、基本不等式、转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
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