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2022年高考数学新高考Ⅰ-16

  2022-12-15 15:52:06  

(5分)已知椭圆$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a > b > 0)$,$C$的上顶点为$A$,两个焦点为$F_{1}$,$F_{2}$,离心率为$\dfrac{1}{2}$.过$F_{1}$且垂直于$AF_{2}$的直线与$C$交于$D$,$E$两点,$\vert DE\vert =6$,则$\Delta ADE$的周长是  13 .
分析:根据已知条件,先设出含$c$的椭圆方程,再结合三角形的性质,以及弦长公式,求出$c$的值,最后再根据椭圆的定义,即可求解.
解:$\because$椭圆$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a > b > 0)$的离心率为$\dfrac{1}{2}$,
$\therefore$不妨可设椭圆$C:\dfrac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\dfrac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}=1$,$a=2c$,
$\because C$的上顶点为$A$,两个焦点为$F_{1}$,$F_{2}$,
$\therefore$△$AF_{1}F_{2}$为等边三角形,
$\because$过$F_{1}$且垂直于$AF_{2}$的直线与$C$交于$D$,$E$两点,
$\therefore$${k}_{DE}=\tan 30^\circ =\dfrac{\sqrt{3}}{3}$,
由等腰三角形的性质可得,$\vert AD\vert =\vert DF_{2}\vert$,$\vert AE\vert =\vert EF_{2}\vert$,
设直线$DE$方程为$y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}(x+c)$,$D(x_{1}$,$y_{1})$,$E(x_{2}$,$y_{2})$,
将其与椭圆$C$联立化简可得,$13x^{2}+8cx-32c^{2}=0$,
由韦达定理可得,${x}_{1}+{x}_{2}=-\dfrac{8c}{13}$,${x}_{1}{x}_{2}=-\dfrac{32{c}^{2}}{13}$,
$\vert DE\vert =\sqrt{{k}^{2}+1}\vert {x}_{1}-{x}_{2}\vert =\sqrt{{k}^{2}+1}\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}=\sqrt{\dfrac{1}{3}+1}\cdot \sqrt{(-\dfrac{8c}{13})^{2}+\dfrac{128{c}^{2}}{13}}=\dfrac{48}{13}c=6$,解得$c=\dfrac{13}{8}$,
由椭圆的定义可得,$\Delta ADE$的周长等价于$\vert DE\vert +\vert DF_{2}\vert +\vert EF_{2}\vert =4a=8c=8\times \dfrac{13}{8}=13$.
故答案为:13.
点评:本题主要考查直线与椭圆的综合应用,需要学生很强的综合能力,属于中档题.

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