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2022年高考数学新高考Ⅰ-12

  2022-12-15 15:51:35  

(5分)已知函数$f(x)$及其导函数$f\prime (x)$的定义域均为$R$,记$g(x)=f\prime (x)$.若$f(\dfrac{3}{2}-2x)$,$g(2+x)$均为偶函数,则(  )
A.$f(0)=0$              B.$g(-\dfrac{1}{2})=0$              C.$f(-1)=f$(4)              D.$g(-1)=g$(2)
分析:由$f(\dfrac{3}{2}-2x)$为偶函数,可得$f(x)$关于$x=\dfrac{3}{2}$对称,可判断$C$;$g(2+x)$为偶函数,可得$g(2+x)=g(2-x)$,$g(x)$关于$x=2$对称,可判断$D$;由$g(\dfrac{3}{2})=0$,$g(x)$关于$x=2$对称,可得$g(\dfrac{5}{2})=0$,得到$x=\dfrac{5}{2}$是$f(x)$的极值点,$x=-\dfrac{1}{2}$也是极值点,从而判断$B$;$f(x)$图象位置不确定,可上下移动,故函数值不确定,从而判断$A$.
解:$\because f(\dfrac{3}{2}-2x)$为偶函数,$\therefore$可得$f(\dfrac{3}{2}-2x)=f(\dfrac{3}{2}+2x)$,$\therefore f(x)$关于$x=\dfrac{3}{2}$对称,
令$x=\dfrac{5}{4}$,可得$f(\dfrac{3}{2}-2\times \dfrac{5}{4})=f(\dfrac{3}{2}+2\times \dfrac{5}{4})$,即$f(-1)=f$(4),故$C$正确;
$\because g(2+x)$为偶函数,$\therefore g(2+x)=g(2-x)$,$g(x)$关于$x=2$对称,故$D$不正确;
$\because f(x)$关于$x=\dfrac{3}{2}$对称,$\therefore x=\dfrac{3}{2}$是函数$f(x)$的一个极值点,
$\therefore$函数$f(x)$在$(\dfrac{3}{2}$,$t)$处的导数为0,即$g(\dfrac{3}{2})=f\prime (\dfrac{3}{2})=0$,
又$\therefore g(x)$的图象关于$x=2$对称,$\therefore g(\dfrac{5}{2})=g(\dfrac{3}{2})=0$,$\therefore$函数$f(x)$在$(\dfrac{5}{2}$,$t)$的导数为0,
$\therefore x=\dfrac{5}{2}$是函数$f(x)$的极值点,又$f(x)$的图象关于$x=\dfrac{3}{2}$对称,$\therefore (\dfrac{5}{2}$,$t)$关于$x=\dfrac{3}{2}$的对称点为$(\dfrac{1}{2}$,$t)$,
由$x=\dfrac{5}{2}$是函数$f(x)$的极值点可得$x=\dfrac{1}{2}$是函数$f(x)$的一个极值点,$\therefore g(\dfrac{1}{2})=f\prime (\dfrac{1}{2})=0$,
进而可得$g(\dfrac{1}{2})=g(\dfrac{7}{2})=0$,故$x=\dfrac{7}{2}$是函数$f(x)$的极值点,又$f(x)$的图象关于$x=\dfrac{3}{2}$对称,
$\therefore (\dfrac{7}{2}$,$t)$关于$x=\dfrac{3}{2}$的对称点为$(-\dfrac{1}{2}$,$t)$,$\therefore g(-\dfrac{1}{2})=f\prime (-\dfrac{1}{2})=0$,故$B$正确;
$f(x)$图象位置不确定,可上下移动,即每一个自变量对应的函数值是确定值,故$A$错误.
解法二:构造函数法,
令$f(x)=1-\sin \pi x$,则$f(\dfrac{3}{2}-2x)=1+\cos 2\pi x$,则$g(x)=f\prime (x)=-\pi \cos \pi x$,
$g(x+2)=-\pi \cos (2\pi +\pi x)=-\pi \cos \pi x$,
满足题设条件,可得只有选项$BC$正确,
故选:$BC$.
点评:本题考查函数的奇偶性,极值点与对称性,考查了转化思想和方程思想,属中档题.

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