91学 首页 > 数学 > 高考题 > 2022 > 2022年新高考1 > 正文 返回 打印

2022年高考数学新高考Ⅰ-11

  2022-12-15 15:51:27  

(5分)已知$O$为坐标原点,点$A(1,1)$在抛物线$C:x^{2}=2py(p > 0)$上,过点$B(0,-1)$的直线交$C$于$P$,$Q$两点,则(  )
A.$C$的准线为$y=-1$              B.直线$AB$与$C$相切              
C.$\vert OP\vert \cdot \vert OQ\vert  > \vert OA\vert ^{2}$              D.$\vert BP\vert \cdot \vert BQ\vert  > \vert BA\vert ^{2}$
分析:对于$A$,根据题意求得$p$的值,进而得到准线;对于$B$,求出直线$AB$方程,联立直线$AB$与抛物线方程即可得出结论;对于$C$,设过点$B$的直线方程为$y=kx-1(k > 2)$,联立该直线与抛物线方程,由韦达定理得到两根之和及两根之积,然后利用两点间的距离公式,结合基本不等式判断选项$CD$.
解:$\because$点$A(1,1)$在抛物线$C:x^{2}=2py(p > 0)$上,
$\therefore 2p=1$,解得$p=\dfrac{1}{2}$,
$\therefore$抛物线$C$的方程为$x^{2}=y$,准线方程为$y=-\dfrac{1}{4}$,选项$A$错误;
由于$A(1,1)$,$B(0,-1)$,则${k}_{AB}=\dfrac{1-(-1)}{1-0}=2$,直线$AB$的方程为$y=2x-1$,
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-1}\\ {{x}^{2}=y}\end{array}\right.$,可得$x^{2}-2x+1=0$,解得$x=1$,故直线$AB$与抛物线$C$相切,选项$B$正确;
根据对称性及选项$B$的分析,不妨设过点$B$的直线方程为$y=kx-1(k > 2)$,与抛物线在第一象限交于$P(x_{1}$,$y_{1})$,$Q(x_{2}$,$y_{2})$,
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\ {y={x}^{2}}\end{array}\right.$,消去$y$并整理可得$x^{2}-kx+1=0$,则$x_{1}+x_{2}=k$,$x_{1}x_{2}=1$,${y}_{1}{y}_{2}=(k{x}_{1}-1)(k{x}_{2}-1)={k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}-k({x}_{1}+{x}_{2})+1=1$,
$\vert OP\vert \cdot \vert OQ\vert =\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}\cdot \sqrt{{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}\geqslant \sqrt{2{x}_{1}{y}_{1}}\cdot \sqrt{2{x}_{2}{y}_{2}}=2\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}{y}_{1}{y}_{2}}=2=\vert OA{\vert }^{2}$,由于等号在$x_{1}=x_{2}=y_{1}=y_{2}=1$时才能取到,故等号不成立,选项$C$正确;
$\vert BP\vert \vert BQ\vert =\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+({y}_{1}+1)^{2}}\cdot \sqrt{{{x}_{2}}^{2}+({y}_{2}+1)^{2}} > \sqrt{{{x}_{1}}^{2}+4{y}_{1}}\cdot \sqrt{{x}_{2}^{2}+4{y}_{2}}=\sqrt{5{{x}_{1}}^{2}}\cdot \sqrt{5{{x}_{2}}^{2}}=5\sqrt{{(x}_{1}{x}_{2})^{2}}=5=\vert BA{\vert }^{2}$,选项$D$正确.
故选:$BCD$.
点评:本题考查抛物线方程的求解,直线与抛物线位置关系的综合运用,同时还涉及了两点间的距离公式以及基本不等式的运用,考查运算求解能力,属于中档题.

http://x.91apu.com//shuxue/gkt/2022/2022xgk1/2022-12-15/33388.html