| 专题01 函数问题的灵魂——定义域 |
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2018-07-02 20:50:52 |
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【高考地位】
在函数的三要素中，函数的定义域是函数的灵魂，对应法则相同的函数只有在定义域相同时才算同一函数.定义域问题始终是函数中最重要的问题，许多问题的解决都是必须先解决定义域，不要就会出现问题.通过对近几年高考试题的分析看出，本课时内容也是高考考查的重点之一，题型是选择题、填空题．试题难度较小.
【方法点评】
方法一 直接法 使用情景：
函数$f(x)$的解析式已知的情况下
解题模板：
第一步 找出函数$f(x)$每个式子有意义的条件；
第二步 列出不等式或不等式组；
第三步 解不等式或不等式组，即得到函数$f(x)$的定义域.
例1 求函数$y=\sqrt{2{{x}^{2}}+5x-3}$的定义域.
答案：$\{x|x\geqslant \dfrac{1}{2}$或$x\leqslant -3\}$
解析：要使原式有意义要满足：
$2{{x}^{2}}+5x-3\geqslant 0$
所以$(2x-1)(x+3)\geqslant 0$
解得$x\geqslant \dfrac{1}{2}$或$x\leqslant -3$
所以函数的定义域为$\{x|x\geqslant \dfrac{1}{2}$或$x\leqslant -3\}$
点评：对于类似例题的结构单一的函数，可以直接列出不等式再解答即可得到函数的定义域.
变式演练1：求函数$y=\sqrt{\dfrac{x+2}{x+1}}$的定义域.
答案：$\{x|x>-1或x\leqslant -2\}$
解析：要使原式有意义需要满足：$\dfrac{x+2}{x+1}\geqslant 0$，
解得$x>-1或x\leqslant -2$
所以函数的定义域为$\{x|x>-1或x\leqslant -2\}$。
例2.函数$f(x)=\sqrt{2{{x}^{2}}+x-3}+{{\log }_{3}}(3+2x-{{x}^{2}})$定义域为________.
答案：$[1,3)$
解析：
试题分析：由题意得，函数满足$\begin{cases} 2{{x}^{2}}+x-3\geqslant 0 \\ 3+2x-{{x}^{2}}>0 \end{cases} $，
解得$\left\{ \begin{align}& x\leqslant -\dfrac{3}{2}或x\geqslant 1 \\& -1<x<3 \end{align} \right.$，
即$1\leqslant x<3$，
所以函数的定义域为$[1,3)$.
考点：函数的定义域.
点评：本题主要考查了函数的定义域的求解、一元二次不等式的求解、集合的运算等知识点的综合应用，解答中根据函数的解析式，列出相应的不等式组，求解每个不等式的解集，取交集得到函数的定义域，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，属于中档试题.
变式演练2：若函数$f\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}+ax+1}$的定义域为$R$，则实数$a$取值范围是（ ）
A．$\left[ -2,2 \right]$ B．$\left( 2,+\infty \right)$ C．$\left( -\infty ,2 \right)$ D．$\left( -2,2 \right)$
答案：A
解析：
试题分析：由于函数$f\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}+ax+1}$的定义域为R，
所以${{x}^{2}}+ax+1\geqslant \text{0}$在R上恒成立，
即方程${{x}^{2}}+ax+1\text{=0}$至多有一个解，
所以$\Delta \text{=}{{a}^{\text{2}}}-4\leqslant \text{0}$，
解得$-2\leqslant a\leqslant 2$，
则实数$a$的取值范围是$\left[ -2,2 \right]$.故选A.
考点：二次函数的图像与性质.
例3.求函数$y={{\log }_{a}}({{a}^{x}}-1)(a>0 \text{且}a\ne 1)$的定义域.
答案：
当$a>1$时，函数的定义域为$\{x|x>0\}$；
当$0<a<1$时，函数的定义域为$\{x|x<0\}$.
解析：要使原式有意义需要满足${{a}^{x}}-1>0$，
即${{a}^{x}}>1={{a}^{0}}$
当$a>1$时，$y={{a}^{x}}$是$R$上的增函数，所以$x>0$；
当$0<a<1$时，$y={{a}^{x}}$是$R$上的减函数，所以$x<0$；
综上所述，当$a>1$时，函数的定义域为$\{x|x>0\}$；
当$0<a<1$时，函数的定义域为$\{x|x<0\}$.
点评：
（1）求含有参数的函数的定义域时，注意在适当的地方分类讨论.
（2）对于指数函数和对数函数，如果已知条件中，没有给定底数$a$的取值范围，一般要分类讨论.
变式演练3：已知函数$f\left( x \right)=\dfrac{\sqrt[3]{3x-1}}{a{{x}^{2}}+ax-3}$的定义域是R，则实数$a$的取值范围是（ ）
A．$-12<a\leqslant 0$ B． $-12<a<0$ C．$a>\dfrac{1}{3}$ D．$a\leqslant \dfrac{1}{3}$
答案：A
解析：
试题分析：函数$f\left( x \right)=\dfrac{\sqrt[3]{3x-1}}{a{{x}^{2}}+ax-3}$的定义域为R，只需分母不为0即可，
所以$a=0$或$\begin{cases} a\ne 0 \\ \Delta ={{a}^{2}}-4a\times (-3)<0 \end{cases} $
可得$-12<a\leqslant 0$，
故选A。
考点：函数的定义域及其求法．
高考真题：
【2013年高考数学广东（文）2】
【2013年高考数学山东（文）5】
【2013年高考数学安徽（文）11】
【2014年高考数学江西（理）2】
【2014年高考数学山东（理）3】
【2014年高考数学山东（文）3】
【2015年高考数学重庆（文）3】
【2015年高考数学湖北（文）6】
【2016年高考数学江苏5】
方法二 抽象复合法 使用情景：涉及到抽象函数
解题模板：利用抽象复合函数的性质解答：
（1）已知原函数$f(x)$的定义域为$(a,b)$，求复合函数$f\left[ g(x) \right]$的定义域：
只需解不等式$a<g(x)<b$，不等式的解集即为所求函数的定义域.
（2）已知复合函数$f\left[ g(x) \right]$的定义域为$\left( a,b \right)$，求原函数$f(x)$的定义域：
只需根据$a<x<b$求出函数$g(x)$的值域，即得原函数$f(x)$的定义域.
例4求下列函数的定义域：
（1）已知函数$f(x)$的定义域为$\left[ -2,2 \right]$，求函数$y=f({{x}^{2}}-1)$的定义域.
（2）已知函数$y=f(2x+4)$的定义域为$\left[ 0,1 \right]$，求函数$f(x)$的定义域.
（3）已知函数$f(x)$的定义域为$\left[ -1,2 \right]$，求函数$y=f(x+1)-f({{x}^{2}}-1)$的定义域.
答案：
（1）$\left[ -\sqrt{3},\sqrt{3} \right]$；
（2）$\left[ 4,6 \right]$；
（3）$\left[ -\sqrt{3},1 \right]$.
解析：
（1）
令$-2\leqslant {{x}^{2}}-1\leqslant 2$，
得$-1\leqslant {{x}^{2}}\leqslant 3$，
即$0\leqslant {{x}^{2}}\leqslant 3$，
从而$-\sqrt{3}\le x\leqslant \sqrt{3}$
∴函数$y=f({{x}^{2}}-1)$的定义域为$\left[ -\sqrt{3},\sqrt{3} \right]$.
（2）
∵$y=f(2x+4)$的定义域为$\left[ 0,1 \right]$，
即在$y=f(2x+4)$中$x\in \left[ 0,1 \right]$，
令$t=2x+4$，$x\in \left[ 0,1 \right]$
则$t\in \left[ 4,6 \right]$，
即在$f(t)$中，$t\in \left[ 4,6 \right]$，
∴$f(x)$的定义域为$\left[ 4,6 \right]$.
（3）
由题得$\left\{ \begin{matrix} -1\leqslant x+1\leqslant 2 \\ -1\le {{x}^{2}}-1\leqslant 2 \end{matrix} \right.$
∴$-\sqrt{3}\le x\leqslant 1$
∴函数$y=f(x+1)-f({{x}^{2}}-1)$的定义域为$\left[ -\sqrt{3},1 \right]$.
点评：
（1）已知原函数$f(x)$的定义域为$\left( a,b \right)$，求复合函数$f\left[ g(x) \right]$的定义域：只需解不等式$a<g(x)<b$，不等式的解集即为所求函数的定义域.第1小题就是典型的例子；
（2）已知复合函数$f\left[ g(x) \right]$的定义域为$\left( a,b \right)$，求原函数$f(x)$的定义域：只需根据$a<x<b$求出函数$g(x)$的值域，即得原函数$f(x)$的定义域.第2小题就是典型的例子；
（3）求函数$y=f(x)+g(x)$的定义域，一般先分别求函数$y=f(x)$和函数$y=g(x)$的定义域$A$和$B$，再求$A\cap B$，即为所求函数的定义域.
变式演练4：若函数$y=f\left( x \right)$的定义域是$\left[ 1,2016 \right]$，则函数$g\left( x \right)=f\left( x+1 \right)$的定义域是（ ）
A．$\left( 0,2016 \right]$ B．$\left[ 0,2015 \right]$ C．$\left( 1,2016 \right]$ D．$\left[ 1,2017 \right]$
答案：B
解析：
试题分析：因为函数$y=f\left( x \right)$的定义域是$\left[ 1,2016 \right]$，即$1\leqslant x\leqslant 2016$，则函数$g\left( x \right)=f\left( x+1 \right)$的定义域是$1\leqslant x+1\leqslant 2016$，∴$0\leqslant x\leqslant 2015$，即$x\in \left[ 0,2015 \right]$，故选B
考点：复合函数的定义域
变式演练5：已知函数$f\left( 2x+1 \right)$的定义域为$\left( -2,\dfrac{1}{2} \right)$，则$f(x)$的定义域为（ ）
A．$\left( -\dfrac{3}{2},\dfrac{1}{4} \right)$ B．$\left( -1,\dfrac{3}{2} \right)$ C．$\left( -3,2 \right)$ D．$\left( -3,3 \right)$
答案：$C$．
解析：因为函数$f\left( 2x+1 \right)$的定义域为$\left( -2,\dfrac{1}{2} \right)$，所以$2x+1\in (-3,2)$，所以函数$f(x)$的定义域为$(-3,2)$．故应选$C$．
变式演练6：已知函数$y=f\left( x+1 \right)$的定义域是$\left[ -2,3 \right]$，则$y=f\left( x-1 \right)$的定义域是（ ）
A．$\left[ 0,5 \right]$ B．$\left[ -1,4 \right]$ C．$\left[ -3,2 \right]$ D．$\left[ -2,3 \right]$
答案：A
解析：
试题分析：因为$y=f\left( x+1 \right)$的定义域是$\left[ -2,3 \right]$，
即$x\in \left[ -2,3 \right]$，
所以$x+1\in \left[ -1,4 \right]$，
所以函数$f(x)$的定义域为$\left[ -1,4 \right]$，
由$-1\leqslant x-1\leqslant 4$得$0\leqslant x\leqslant 5$，
所以函数$y=f\left( x-1 \right)$的定义域是$\left[ 0,5 \right]$，
故选A。
考点：抽象函数的定义域.
方法三 实际问题的定义域
使用情景：函数的实际应用问题
解题模板：第一步 求函数的自变量的取值范围；
第二步 考虑自变量的实际限制条件；
第三步 取前后两者的交集，即得函数的定义域.
例5 用长为$L$的铁丝编成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图所示）.若矩形底边长为$2x$，求此框架围成的面积$y$与关于$x$的函数解析式，并求出它的定义域.
答案：$y=-\dfrac{\pi +4}{2}{{x}^{2}}+Lx$，函数的定义域为$\left( 0,\dfrac{L}{\pi +2} \right)$
解析：如图，设$AB=2x$，则$\overset\frown{CD}=\pi x$
于是$AD=\dfrac{L-2x-\pi x}{2}$
因此$y=2x\times \dfrac{L-2x-\pi x}{2}+\dfrac{\pi {{x}^{2}}}{2}$
即$y=-\dfrac{\pi +4}{2}{{x}^{2}}+Lx$
再由题得$\left\{ \begin{matrix} 2x>0 \\ \dfrac{L-2x-\pi x}{2}>0 \end{matrix} \right.$
解之得$0<x<\dfrac{L}{2+\pi }$
所以函数解析式是$y=-\dfrac{\pi +4}{2}{{x}^{2}}+Lx$，
函数的定义域是$\left( 0,\dfrac{L}{\pi +2} \right)$
点评：
（1）求实际问题中函数的定义域，不仅要考虑解析式本身有意义的条件，还有保证实际意义；
（2）该题中考虑实际意义时，必须保证解答过程中的每一个变量都要有意义，即$\left\{ \begin{matrix} 2x>0 \\ \dfrac{L-2x-\pi x}{2}>0 \end{matrix} \right.$，不能遗漏.
变式演练7：某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为$\dfrac{80\pi }{3}$立方米，且l≥2r．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c（c＞3）千元．设该容器的建造费用为y千元．写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
答案：$y=2\pi \cdot \dfrac{80+(2c-4){{r}^{3}}}{r}$，定义域为$(0,2]$.
解析：由体积$V=\dfrac{4}{3}\pi {{r}^{3}}+\pi {{r}^{2}}l=\dfrac{80\pi }{3}$，
解得$l=\dfrac{80-4{{r}^{3}}}{3{{r}^{2}}}$
∴$y=2\pi rl\times 3+4\pi {{r}^{2}}\times c$
$=6\pi r\times \dfrac{80-4{{r}^{3}}}{3{{r}^{2}}}+4c\pi {{r}^{2}}$
$=2\pi \cdot \dfrac{80+(2c-4){{r}^{3}}}{r}$
又$l\geqslant 2r$，即$\dfrac{80-4{{r}^{3}}}{3{{r}^{2}}}\geqslant 2r$，解得$0<r\leqslant 2$
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