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2021年高考数学乙卷-理20

  2022-05-03 08:09:28  

20.(12分)已知函数$f(x)=ln(a-x)$,已知$x=0$是函数$y=xf$$(x)$的极值点.
(1)求$a$;
(2)设函数$g(x)=\dfrac{x+f(x)}{xf(x)}$.证明:$g(x)<1$.
分析:(1)确定函数$f(x)$的定义域,令$t(x)=xf(x)$,由极值的定义得到$t'(x)=0$,求出$a$的值,然后进行证明,即可得到$a$的值;
(2)将问题转化为证明$\dfrac{x+ln(1-x)}{xln(1-x)}<1$,进一步转化为证明$x+ln(1-x)>xln(1-x)$,令$h(x)=x+(1-x)ln(1-x)$,利用导数研究$h(x)$的单调性,证明$h(x)>h(0)$,即可证明.
(1)解:由题意,$f(x)$的定义域为$(-\infty ,a)$,
令$t(x)=xf(x)$,则$t(x)=xln(a-x)$,$x\in (-\infty ,a)$,
则$t'(x)=ln(a-x)+x\cdot \dfrac{-1}{a-x}=ln(a-x)+\dfrac{-x}{a-x}$,
因为$x=0$是函数$y=xf(x)$的极值点,则有$t'(0)=0$,即$lna=0$,所以$a=1$,
当$a=1$时,$t'(x)=ln(1-x)+\dfrac{-x}{1-x}=ln(1-x)+\dfrac{-1}{1-x}+1$,且$t'(0)=0$,
因为$t''(x)=\dfrac{-1}{1-x}+\dfrac{-1}{(1-x)^{2}}=\dfrac{x-2}{(1-x)^{2}}<0$,
则$t'(x)$在$(-\infty ,1)$上单调递减,
所以当$x\in (-\infty ,0)$时,$t'(x)>0$,
当$x\in (0,1)$时,$t'(x)<0$,
所以$a=1$时,$x=0$是函数$y=xf(x)$的一个极大值点.
综上所述,$a=1$;
(2)证明:由(1)可知,$xf(x)=xln(1-x)$,
要证$\dfrac{x+f(x)}{xf(x)}<1$,即需证明$\dfrac{x+ln(1-x)}{xln(1-x)}<1$,
因为当$x\in (-\infty ,0)$时,$xln(1-x)<0$,
当$x\in (0,1)$时,$xln(1-x)<0$,
所以需证明$x+ln(1-x)>xln(1-x)$,即$x+(1-x)ln(1-x)>0$,
令$h(x)=x+(1-x)ln(1-x)$,
则$h'(x)=(1-x)\cdot \dfrac{-1}{1-x}+1-ln(1-x)$,
所以$h'(0)=0$,当$x\in (-\infty ,0)$时,$h'(x)<0$,
当$x\in (0,1)$时,$h'(x)>0$,
所以$x=0$为$h(x)$的极小值点,
所以$h(x)>h(0)=0$,即$x+ln(1-x)>xln(1-x)$,
故$\dfrac{x+ln(1-x)}{xln(1-x)}<1$,
所以$\dfrac{x+f(x)}{xf(x)}<1$.
点评:本题考查了导数的综合应用,主要考查了利用导数研究函数的极值问题,利用导数证明不等式问题,此类问题经常构造函数,转化为证明函数的取值范围问题,考查了逻辑推理能力与化简运算能力,属于难题.

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