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2021年高考数学乙卷-理19

  2022-05-03 08:09:20  

19.(12分)记Sn为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n项积,已知2Sn+1bn=2
(1)证明:数列{bn}是等差数列;
(2)求{an}的通项公式.
分析:(1)由题意当n=1时,b1=S1,代入已知等式可得b1的值,当n2时,将bnbn1=Sn,代入2Sn+1bn=2,可得bnbn1=12,进一步得到数列{bn}是等差数列;
(2)由a1=S1=b1=32,可得bn=n+22,代入已知等式可得Sn=n+2n+1,当n2时,an=SnSn1=1n(n+1),进一步得到数列{an}的通项公式.
解:(1)证明:当n=1时,b1=S1
2b1+1b1=2,解得b1=32
n2时,bnbn1=Sn,代入2Sn+1bn=2
消去Sn,可得2bn1bn+1bn=2,所以bnbn1=12
所以{bn}是以32为首项,12为公差的等差数列.
(2)由题意,得a1=S1=b1=32
由(1),可得bn=32+(n1)×12=n+22
2Sn+1bn=2,可得Sn=n+2n+1
n2时,an=SnSn1=n+2n+1n+1n=1n(n+1),显然a1不满足该式,
所以an={32,n=11n(n+1),n2
点评:本题考查了等差数列的概念,性质和通项公式,考查了方程思想,是基础题.

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