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2021年高考数学新高考Ⅱ-20

  2022-04-29 23:03:11  

20.(12分)已知椭圆$C$的方程为$\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a>b>0)$,右焦点为$F(\sqrt{2}$,$0)$,且离心率为$\dfrac{\sqrt{6}}{3}$.
(Ⅰ)求椭圆$C$的方程;
(Ⅱ)设$M$,$N$是椭圆$C$上的两点,直线$MN$与曲线$x^{2}+y^{2}=b^{2}(x>0)$相切.证明:$M$,$N$,$F$三点共线的充要条件是$\vert MN\vert =\sqrt{3}$.
分析:(Ⅰ)利用离心率以及焦点的坐标,求出$a$和$c$的值,结合$a^{2}=b^{2}+c^{2}$,即可求出$b$的值,从而得到椭圆的标准方程;
(Ⅱ)先证明充分性,设直线$MN$的方程,利用圆心到直线的距离公式求出$m$的值,联立直线与椭圆的方程,求出$\vert MN\vert$即可;再证明必要性,设直线$MN$的方程,由圆心到直线的距离公式求出$m$和$t$的关系,联立直线与椭圆的方程,求出$\vert MN\vert$,得到方程,求出$m$和$t$的值,从而得到直线$MN$必过点$F$,即可证明必要性.
(Ⅰ)解:由题意可得,椭圆的离心率$\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$,又$c=\sqrt{2}$,
所以$a=\sqrt{3}$,则$b^{2}=a^{2}-c^{2}=1$,
故椭圆的标准方程为$\dfrac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$;
(Ⅱ)证明:先证明必要性,
若$M$,$N$,$F$三点共线时,设直线$MN$的方程为$x=my+\sqrt{2}$,
则圆心$O(0,0)$到直线$MN$的距离为$d=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{{m}^{2}+1}}=1$,解得$m^{2}=1$,
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{x=my+\sqrt{2}}\\ {\dfrac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$,可得$({m}^{2}+3){y}^{2}+2\sqrt{2}my-1=0$,
即$4{y}^{2}+2\sqrt{2}my-1=0$,
所以$\vert MN\vert =\sqrt{1+{m}^{2}}\cdot \dfrac{\sqrt{8{m}^{2}+16}}{4}=\sqrt{2}\times \dfrac{\sqrt{24}}{4}=\sqrt{3}$;
所以必要性成立;
下面证明充分性,
当$\vert MN\vert =\sqrt{3}$时,设直线$MN$的方程为$x=ty+m$,
此时圆心$O(0,0)$到直线$MN$的距离$d=\dfrac{\vert m\vert }{\sqrt{{t}^{2}+1}}=1$,则$m^{2}-t^{2}=1$,
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+m}\\ {\dfrac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$,可得$(t^{2}+3)y^{2}+2tmy+m^{2}-3=0$,
则△$=4t^{2}m^{2}-4(t^{2}+3)(m^{2}-3)=12(t^{2}-m^{2}+3)=24$,
因为$\vert MN\vert =\sqrt{1+{t}^{2}}\cdot \dfrac{\sqrt{24}}{{t}^{2}+3}=\sqrt{3}$,
所以$t^{2}=1$,$m^{2}=2$,
因为直线$MN$与曲线$x^{2}+y^{2}=b^{2}(x>0)$相切,
所以$m>0$,则$m=\sqrt{2}$,
则直线$MN$的方程为$x=ty+\sqrt{2}$恒过焦点$F(\sqrt{2},0)$,
故$M$,$N$,$F$三点共线,
所以充分性得证.
综上所述,$M$,$N$,$F$三点共线的充要条件是$\vert MN\vert =\sqrt{3}$.

点评:本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用,在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时,一般会联立直线与圆锥曲线的方程,利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究,属于中档题.

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