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2021年高考数学新高考Ⅰ-15

  2021-06-14 21:55:15  

(5分)函数$f(x)=\vert 2x-1\vert -2\ln x$的最小值为____.
分析:求出函数定义域,对$x$分段去绝对值,当$0<x\leqslant \dfrac{1}{2}$时,直接利用单调性求最值;当$x>\dfrac{1}{2}$时,利用导数求最值,进一步得到$f(x)$的最小值.
解:函数$f(x)=\vert 2x-1\vert -2\ln x$的定义域为$(0,+\infty )$.
当$0<x\leqslant \dfrac{1}{2}$时,$f(x)=\vert 2x-1\vert -2\ln x=-2x+1-2\ln x$,
此时函数$f(x)$在$(0$,$\dfrac{1}{2}]$上为减函数,
所以$f(x)\geqslant f(\dfrac{1}{2})=-2\times \dfrac{1}{2}+1-2\ln \dfrac{1}{2}=2\ln 2$;
当$x>\dfrac{1}{2}$时,$f(x)=\vert 2x-1\vert -2\ln x=2x-1-2\ln x$,
则$f\prime (x)=2-\dfrac{2}{x}=\dfrac{2(x-1)}{x}$,
当$x\in (\dfrac{1}{2}$,$1)$时,$f\prime (x)<0$,$f(x)$单调递减,
当$x\in (1,+\infty )$时,$f\prime (x)>0$,$f(x)$单调递增,
$\therefore$当$x=1$时$f(x)$取得最小值为$f$(1)$=2\times 1-1-2\ln 1=1$.
$\because 2\ln 2=\ln 4>\ln e=1$,
$\therefore$函数$f(x)=\vert 2x-1\vert -2\ln x$的最小值为1.
故答案为:1.
点评:本题考查函数的最值及其几何意义,利用导数求最值的应用,考查运算求解能力,是中档题.

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